البرهان الأول
برهان أن أي رقمين متساويين في الرياضيات
فالنفترض أن
a + b = t
فيكون لدينا
(a + b)(a - b) = t(a - b)
مطابقة في الطرف الأول مع فك أقواس في الطرف الثاني فيكون
a^2 - b^2 = ta - tb
نوزع على الطرفين حسب المجهول a,b
a^2 - ta = b^2 - tb
نجمع للطرفين t^2)/4
a^2 - ta + (t^2)/4 = b^2 - tb + (t^2)/4
مطابقة في الطرفين
(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
نجذر
a - t/2 = b - t/2
a = b
ومنه نجد أن أي رقمين متساويين
-------------------------------------------------------------------
البرهان الثاني
اثبات أن 4 = 5
-20 = -20
16 - 36 = 25 - 45
4^2 - 9*4 = 5^2 - 9*5
نجمع إلى الطرفين 81/4
4^2 - 9*4 + 81/4 = 5^2 - 9*5 + 81/4
مطابقة
(4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2
بالجذر
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5
-------------------------------------------------------------------
البرهان الثالث
الكل يعلم أن log(1)=0
لكن هذا برهان أن log(-1)=0
لدينا
log[(-1)^2] = 2 * log(-1)
ولكن أيضا (-1)^2 = 1
log[(-1)^2] = log(1) = 0
بالمقارنة نجد أن
* log(-1) = 0
بتقسيم الطرفين على 2 نجد
log(-1) = 0
-------------------------------------------------------------------
البرهان الرابع
برهان أن أي رقم يساوي ضعفه
فالنفرض أن
a = b
بضرب الطرفين بـ a نجد
a^2 = ab
نطرح b^2 من الطرفين
a^2 - b^2 = ab - b^2
المطابقة
(a + b)(a - b) = b(a - b)
a + b = b
وبما أن a=b فرضا فنجد أن
b+b=b
2b=b
-------------------------------------------------------------------
البرهان الخامس
1=0
فالنفرض أن
x=1
نضرب الطرفين بـ x
x^2=x
نطرح 1 من الطرفين
x^2-1=x-1
المطابقة
(x+1)(x-1)=(x-1)
(x+1)=(x-1)/(x-1)
x+1=1
x=0
0=1
-------------------------------------------------------------------
البرهان السادس
برهان أن 1 = 1/2
ليكن لدينا السلسلة التالية
1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + 1/(7*9) + ...
يمكننا إعادة صياغة السلسلة السابقة كالتالي
1/2((1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + (1/7 - 1/9) + ... ).
كل شيء بعد 1/1 سوف يلغى ومنه مجموع السلسلة 1/2
ولكننا أيضا يمكننا صياغة السلسلة الأولى كالتالي
(1/1 - 2/3) + (2/3 - 3/5) + (3/5 - 4/7) + (4/7 - 5/9) + ...
كل شيء بعد 1/1 سوف يلغى ومنه مجموع السلسلة 1
ومنه نجد أن 1 = 1/2
-------------------------------------------------------------------
البرهان السابع
برهان أن n = n=1
لدينا المطابقة التالية
(n+1)^2 = n^2 + 2*n + 1
انقل 2n + 1 إلى الطرف الآخر
(n+1)^2 - (2n+1) = n^2
اطرح n(2n+1) من الطرفين
(n+1)^2 - (n+1)(2n+1) = n^2 - n(2n+1)
نجمع 1/4(2n+1)^2 إلى كل من الطرفين
(n+1)^2 - (n+1)(2n+1) + 1/4(2n+1)^2 = n^2 - n(2n+1) + 1/4(2n+1)^2
والذي يمكن كتابته بالشكل التالي
[ (n+1) - 1/2(2n+1) ]^2 = [ n - 1/2(2n+1) ]^2
بالجذر نجد
(n+1) - 1/2(2n+1) = n - 1/2(2n+1)
نجمع 1/2(2n+1) إلى الطرفين فنجد
n+1 = n
-------------------------------------------------------------------
البرهان الثامن
برهان أن 3= 4
افترض أن
a + b = c
والذي يمكن كتابته بالشكل التالي
4a - 3a + 4b - 3b = 4c - 3c
بعد الترتيب
4a + 4b - 4c = 3a + 3b - 3c
4 * (a+b-c) = 3 * (a+b-c)
4 = 3
